OpenAI 모델, 80년 된 수학 문제를 풀다 — 왜냐면, 안 될 이유가 없으니까

5월 중순, OpenAI는 자사 내부 AI 모델이 에르되시 단위 거리 추측(Erdős unit distance conjecture)을 성공적으로 반증했다고 발표했다. 이는 지난 80년 동안 인간 수학자들을 당혹스럽게 만든 유명한 이산 기하학 문제다. 기본적으로, AI가 1946년부터 수학자들을 열등감에 빠뜨리던 문제를 슬쩍 들어와 해결한 것이다.

OpenAI는 여러 수학자들에게 결과에 대한 조기 접근 권한을 주고 그들의 반응을 공개했다. 필즈상(수학의 노벨상, 드라마는 덜한)을 수상한 팀 가워스(Tim Gowers)는 "단위 거리 문제의 해결이 AI 수학의 이정표임은 의심의 여지가 없다"고 썼다. 토론토 대학교 교수 다니엘 리트(Daniel Litt)는 "이것은 AI가 자율적으로 생산한 결과 중에서 그 자체로 흥미롭다고 느낀 첫 번째 사례"라고 덧붙였다. 즉, 단순히 "AI가 하이쿠를 쓸 수 있다"는 수준의 순간이 아니라는 뜻이다.

이는 AI 시스템이 주요 미해결 추측을 증명한 첫 번째 사례라고 할 수 있다. 인상적이지만, 최근 AI 수학의 궤적에서 급진적인 이탈은 아니다. 3년 전, LLM은 산수에 어려움을 겪었다. 작년에는 고등학교 수학 경시대회를 정복하기 시작했다. 올해는 1940년대 문제를 해결하고 있다. 이 속도라면 2030년에는 인간이 이케아 설명서를 이해하려고 애쓰는 동안 AI가 우주의 신비를 풀고 있을 것이다.

AI 모델은 여러 수학 하위 분야의 기존 아이디어를 교묘하게 적용하여 완전한 증명을 만들었지만, 진정으로 새로운 기술을 개척하지는 않았다. 인간 수학자들은 이후 결과를 정리하고 확장했다. 이는 중기적으로 인간과 AI가 서로를 보완하는 미래를 시사한다. AI는 과거 연구에 대한 더 넓은 지식과 지루한 전략을 기꺼이 수행하는 의지를 가지고 있고, 인간은 더 깊이 생각하고 흥미로운 질문을 던질 수 있다. 그러나 AI가 빠르게 발전함에 따라 10년 후 인간 수학자의 역할이 무엇일지는 불분명하다. 아마도 그들은 그저 연구 제안서를 쓰는 사람이 될지도 모른다.

폴 에르되시(Paul Erdős)는 역사상 가장 다작의 수학자 중 한 명(1,500편 이상의 논문, 잠은 선택 사항이었던 듯)으로, 1946년 단위 거리 문제를 제기했다. 문제는 다음과 같다: 2차원 평면에 n개의 점이 주어졌을 때, 정확히 1단위 떨어진 쌍의 최대 개수는 얼마인가? 에르되시는 하한을 추정하기 위해 교묘한 격자 기반 구성을 고안했고, 상한을 찾기 위해 그래프 이론을 사용했다. 그러나 그의 상한은 하한보다 훨씬 컸고, 그는 실제 답이 하한에 더 가깝다고 추측했다. 80년 동안 모두가 그가 옳다고 가정했다.

OpenAI의 AI는 더 복잡한 점 배열을 구성함으로써 그 가정이 틀렸음을 증명했다. 기본적으로 고차원 공간의 격자를 2차원으로 투영한 것으로, 대수적 정수(algebraic integers)라는 것을 사용했다. 이를 통해 같은 수의 점에 더 많은 단위 거리를 집어넣을 수 있었다. 인간 수학자 윌 소윈(Will Sawin)은 나중에 이 구성이 최소 n^1.014개의 단위 거리를 산출한다는 것을 보여주었는데, 이는 에르되시의 하한보다 약간이지만 의미 있게 더 나은 수치다. 문제가 완전히 해결된 것은 아니다. 최고 상한은 여전히 약 n^1.333이지만, 이는 중요한 진전이다.

2주 전에 AI의 수학에 대한 가장 참신한 기여를 묻는다면, 나는 코드 기반 문제를 최적화하기 위해 LLM을 활용하는 Google DeepMind의 AlphaEvolve 시스템을 지목했을 것이다. 11월, 네 명의 수학자(테렌스 타오 포함)가 67개의 최적화 문제에 대한 성능을 분석한 논문을 발표했으며, 일부 경우에 개선을 발견했다. 그러나 여전히 문제를 구성하는 데 인간이 필요했다. OpenAI의 결과는 더 자율적이지만, 이전의 AI 지원 수학 패턴에 부합한다.

다른 AI 회사들도 에르되시 문제를 다루고 있다. 수백 개의 문제가 www.erdosproblems.com에 정리되어 있어 편리한 테스트 장이 되고 있다. 1월, 케임브리지 학부생 케빈 바레토(Kevin Barreto)는 친구와 함께 GPT-5.2와 Harmonic의 Aristotle을 사용하여 첫 번째...