मई के मध्य में, OpenAI ने घोषणा की कि उसके एक आंतरिक AI मॉडल ने एर्डोस इकाई दूरी अनुमान को सफलतापूर्वक गलत साबित कर दिया - असतत ज्यामिति की एक प्रसिद्ध समस्या जिसने पिछले 80 वर्षों से मानव गणितज्ञों को हैरान कर रखा था। मूलतः, एक AI बस अंदर आया और उस चीज़ को हल कर दिया जो 1946 से गणितज्ञों को अपर्याप्त महसूस करवा रही थी।
OpenAI ने कई गणितज्ञों को परिणाम तक शीघ्र पहुँच दी और उनकी प्रतिक्रियाएँ प्रकाशित कीं। टिम गॉवर्स, जिन्होंने फील्ड्स मेडल (गणित का नोबेल पुरस्कार, नाटक के बिना) जीता, ने लिखा कि "इसमें कोई संदेह नहीं कि इकाई-दूरी समस्या का समाधान AI गणित में एक मील का पत्थर है।" टोरंटो विश्वविद्यालय के प्रोफेसर डैनियल लिट ने कहा कि "यह पहला उदाहरण है जहाँ किसी AI द्वारा स्वायत्त रूप से उत्पन्न परिणाम मुझे अपने आप में रोमांचक लगता है, न कि केवल एक अग्रणी संकेतक के रूप में।" तो, यह सिर्फ एक और "देखो, AI हाइकु लिख सकता है" वाला पल नहीं है।
यह तर्कसंगत रूप से पहली बार है जब किसी AI सिस्टम ने किसी प्रमुख खुले अनुमान को हल करने वाला प्रमाण खोजा है। प्रभावशाली, हाँ, लेकिन गणित में AI के हालिया प्रक्षेपवक्र से कोई क्रांतिकारी बदलाव नहीं। तीन साल पहले, LLM को अंकगणित से जूझना पड़ता था। पिछले साल, उन्होंने हाई स्कूल गणित प्रतियोगिताओं में अच्छा प्रदर्शन करना शुरू किया। इस साल, वे 1940 के दशक की समस्याओं को हल कर रहे हैं। इस दर से, 2030 तक वे ब्रह्मांड के रहस्यों को सुलझा रहे होंगे जबकि मनुष्य अभी भी IKEA के निर्देशों को समझने की कोशिश कर रहे होंगे।
AI मॉडल ने एक पूर्ण प्रमाण बनाने के लिए गणित के कई उपक्षेत्रों से मौजूदा विचारों को चतुराई से लागू किया, लेकिन इसने कोई वास्तविक नई तकनीक का बीड़ा नहीं उठाया। मानव गणितज्ञों ने तब से परिणाम को साफ किया और विस्तारित किया। यह एक मध्यम अवधि के भविष्य की ओर इशारा करता है जहाँ मनुष्य और AI एक दूसरे के पूरक हैं: AI के पास पिछले काम का व्यापक ज्ञान और थकाऊ रणनीतियों से गुज़रने की अधिक इच्छा है, जबकि मनुष्य अभी भी अधिक गहराई से सोच सकते हैं और दिलचस्प प्रश्न पूछ सकते हैं। लेकिन AI कितनी तेज़ी से सुधर रहा है, यह देखते हुए यह स्पष्ट नहीं है कि एक दशक बाद मानव गणितज्ञ क्या भूमिका निभाएँगे। शायद वे सिर्फ अनुदान प्रस्ताव लिखने वाले होंगे।
पॉल एर्डोस, इतिहास के सबसे विपुल गणितज्ञों में से एक (1,500+ पेपर, क्योंकि जाहिर तौर पर नींद वैकल्पिक थी), ने 1946 में इकाई दूरी समस्या प्रस्तुत की। यह पूछता है: 2D तल में n बिंदुओं को देखते हुए, अधिकतम कितने जोड़े बिल्कुल एक इकाई दूरी पर हो सकते हैं? एर्डोस ने निचली सीमा का अनुमान लगाने के लिए एक चतुर ग्रिड-आधारित निर्माण किया, और ऊपरी सीमा खोजने के लिए ग्राफ सिद्धांत का उपयोग किया। लेकिन उनकी ऊपरी सीमा उनकी निचली सीमा से बहुत बड़ी थी, और उन्होंने अनुमान लगाया कि सही उत्तर निचली सीमा के करीब है। 80 वर्षों तक, सभी ने माना कि वे सही थे।
OpenAI के AI ने उस धारणा को गलत साबित कर दिया, बिंदुओं की एक अधिक जटिल व्यवस्था बनाकर - मूलतः एक उच्च-आयामी स्थान में एक ग्रिड जिसे दो आयामों में प्रक्षेपित किया गया, जिसमें बीजगणितीय पूर्णांक नामक चीज़ का उपयोग किया गया। इसने इसे समान संख्या में बिंदुओं में अधिक इकाई दूरियाँ पैक करने की अनुमति दी। मानव गणितज्ञ विल सॉविन ने बाद में दिखाया कि यह निर्माण कम से कम n^1.014 इकाई दूरियाँ उत्पन्न करता है, जो एर्डोस की निचली सीमा से थोड़ा लेकिन सार्थक रूप से बेहतर है। समस्या अभी पूरी तरह हल नहीं हुई है - सबसे अच्छी ऊपरी सीमा अभी भी लगभग n^1.333 है - लेकिन यह एक महत्वपूर्ण कदम है।
अगर आपने मुझसे दो सप्ताह पहले गणित में सबसे नवीन AI योगदानों के बारे में पूछा होता, तो मैं Google DeepMind के AlphaEvolve सिस्टम की ओर इशारा करता, जो कोड-आधारित समस्याओं को अनुकूलित करने के लिए LLM का उपयोग करता है। नवंबर में, चार गणितज्ञों (टेरेंस ताओ सहित) ने 67 अनुकूलन समस्याओं पर इसके प्रदर्शन का विश्लेषण करते हुए एक पेपर प्रकाशित किया, जिसमें कुछ मामलों में सुधार पाया गया। लेकिन उसके लिए अभी भी मनुष्यों को समस्या तैयार करने की आवश्यकता थी। OpenAI का परिणाम अधिक स्वायत्त है, हालाँकि यह पिछले AI-सहायता प्राप्त गणित के पैटर्न में फिट बैठता है।
अन्य AI कंपनियाँ भी एर्डोस समस्याओं से निपट रही हैं - उनमें से सैकड़ों हैं, जो www.erdosproblems.com पर संकलित हैं, जो उन्हें एक सुविधाजनक परीक्षण स्थल बनाती हैं। जनवरी में, कैम्ब्रिज के स्नातक केविन बैरेटो ने एक मित्र के साथ काम करके GPT-5.2 और Harmonic के अरस्तू को पहली बार उत्पादन करने के लिए प्रेरित किया।