I över ett och ett halvt århundrade har matematiker arbetat under den trösterika, om än något stela, antagandet att om man känner till två nyckelsaker om en kompakt yta – dess metrik (hur avstånd fungerar på den) och dess medelkrökning (hur den böjer sig i rummet) – så kan man lista ut dess exakta form. Denna princip, som härstammar från den franske matematikern Pierre Ossian Bonnet, har nu försiktigt men bestämt knådats till en ny form av forskare från Tekniska universitetet i München (TUM), Tekniska universitetet i Berlin och North Carolina State University.
De har konstruerat det första explicita motexemplet till denna länge hållna regel. Teamet byggde två kompakta, självständiga ytor formade som munkar, kända som torusar. Dessa två torusar delar identiska värden för både metrik och medelkrökning vid varje punkt, men deras övergripande strukturer är inte desamma. Denna typ av exempel, ett par ytor som är lokalt identiska men globalt olika, har eftertraktats i decennier.
Matematiker var redan medvetna om att Bonnets regel hade sina begränsningar, med kända undantag som involverar icke-kompakta ytor som sträcker sig oändligt eller har kanter. Kompakta ytor som sfärer troddes vara skyddade från sådan tvetydighet. För torusformade ytor hade teorin antytt att en enda uppsättning av metrik- och medelkrökningsvärden kunde motsvara upp till två olika former, men ingen hade någonsin bakat ett konkret exempel.
"Efter många års forskning har vi för första gången lyckats hitta ett konkret fall som visar att även för slutna, munkliknande ytor bestämmer lokala mätdata inte nödvändigtvis en enda global form," sa Tim Hoffmann, professor i tillämpad och beräkningsbar topologi vid TUM School of Computation, Information and Technology. Upptäckten löser ett årtiondegammalt problem och bevisar att även med fullständig lokal information kan en ytas fullständiga form inte alltid entydigt fastställas.