डेढ़ सदी से भी अधिक समय से, गणितज्ञ एक सुखद, हल्के से कठोर मान्यता के तहत काम कर रहे थे कि यदि आप एक संहत सतह के बारे में दो महत्वपूर्ण बातें जानते हैं - इसका मीट्रिक (इस पर दूरियाँ कैसे काम करती हैं) और इसकी माध्य वक्रता (यह अंतरिक्ष में कैसे मुड़ती है) - तो आप इसकी सटीक आकृति का पता लगा सकते हैं। यह सिद्धांत, जिसकी शुरुआत फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे ओसियन बोनट से हुई थी, अब तकनीकी विश्वविद्यालय म्यूनिख (टीयूएम), तकनीकी विश्वविद्यालय बर्लिन और नॉर्थ कैरोलिना स्टेट यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं द्वारा धीरे से लेकिन दृढ़ता से एक नए रूप में गूंथ दिया गया है।
उन्होंने इस लंबे समय से चले आ रहे नियम का पहला स्पष्ट अपवाद निर्मित किया है। टीम ने दो संहत, स्व-निहित सतहों का निर्माण किया है जो डोनट के आकार की हैं, जिन्हें टोरस के नाम से जाना जाता है। ये दोनों टोरस हर बिंदु पर मीट्रिक और माध्य वक्रता दोनों के समान मान साझा करते हैं, फिर भी उनकी समग्र संरचनाएँ समान नहीं हैं। इस प्रकार का उदाहरण, सतहों की एक जोड़ी जो स्थानीय रूप से समान हैं लेकिन वैश्विक रूप से भिन्न हैं, दशकों से खोजी जा रही थी।
गणितज्ञ पहले से ही जानते थे कि बोनट के नियम की अपनी सीमाएँ हैं, जिसमें ज्ञात अपवाद गैर-संहत सतहों से जुड़े हैं जो अनंत तक फैली हुई हैं या किनारे रखती हैं। संहत सतहें जैसे गोले ऐसी अस्पष्टता से सुरक्षित मानी जाती थीं। टोरस-आकार की सतहों के लिए, सिद्धांत ने सुझाव दिया था कि मीट्रिक और माध्य वक्रता मानों का एक ही सेट दो अलग-अलग आकृतियों के अनुरूप हो सकता है, लेकिन किसी ने भी कभी एक ठोस उदाहरण नहीं पकाया था।
"कई वर्षों के शोध के बाद, हम पहली बार एक ठोस मामला खोजने में सफल हुए हैं जो दर्शाता है कि बंद, डोनट जैसी सतहों के लिए भी, स्थानीय माप डेटा आवश्यक रूप से एक वैश्विक आकृति निर्धारित नहीं करते," टीयूएम स्कूल ऑफ कम्प्यूटेशन, इनफॉर्मेशन एंड टेक्नोलॉजी में एप्लाइड एंड कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी के प्रोफेसर टिम हॉफमैन ने कहा। यह खोज एक दशक पुरानी समस्या का समाधान करती है, यह साबित करते हुए कि पूर्ण स्थानीय जानकारी के साथ भी, एक सतह की पूरी आकृति हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं की जा सकती।