Per oltre un secolo e mezzo, i matematici hanno operato sotto il confortante, seppur leggermente rigido, presupposto che se si conoscono due cose chiave su una superficie compatta - la sua metrica (come funzionano le distanze su di essa) e la sua curvatura media (come si piega nello spazio) - si possa dedurne la forma esatta. Questo principio, originato dal matematico francese Pierre Ossian Bonnet, è stato ora delicatamente ma fermamente impastato in una nuova forma da ricercatori dell'Università Tecnica di Monaco (TUM), dell'Università Tecnica di Berlino e della North Carolina State University.
Hanno costruito il primo controesempio esplicito a questa regola di lunga data. Il team ha realizzato due superfici compatte e autosufficienti a forma di ciambella, note come tori. Questi due tori condividono valori identici sia per la metrica che per la curvatura media in ogni punto, eppure le loro strutture complessive non sono le stesse. Questo tipo di esempio, una coppia di superfici localmente identiche ma globalmente diverse, era stato cercato per decenni.
I matematici erano già consapevoli che la regola di Bonnet avesse i suoi limiti, con eccezioni note che coinvolgono superfici non compatte che si estendono all'infinito o hanno bordi. Le superfici compatte come le sfere erano considerate al sicuro da tale ambiguità. Per le superfici a forma di toro, la teoria aveva suggerito che un singolo insieme di valori di metrica e curvatura media potesse corrispondere fino a due forme diverse, ma nessuno aveva mai sfornato un esempio concreto.
"Dopo molti anni di ricerca, siamo riusciti per la prima volta a trovare un caso concreto che dimostra che anche per superfici chiuse, simili a ciambelle, i dati di misurazione locali non determinano necessariamente una singola forma globale", ha dichiarato Tim Hoffmann, Professore di Topologia Applicata e Computazionale presso la TUM School of Computation, Information and Technology. La scoperta risolve un problema di decenni, dimostrando che anche con informazioni locali complete, la forma completa di una superficie non può sempre essere determinata in modo univoco.