一世紀半以上にわたり、数学者たちは、コンパクトな曲面についての二つの重要な要素——その計量（曲面上での距離の測り方）と平均曲率（空間内での曲がり具合）——さえ知っていれば、その正確な形状を特定できるという、多少堅苦しいながらも安心できる前提の下で研究を進めてきた。この原理は、フランスの数学者ピエール・オシアン・ボネに端を発するものだが、ミュンヘン工科大学（TUM）、ベルリン工科大学、ノースカロライナ州立大学の研究者たちによって、今や優しく、しかし確固としてこね上げられ、新たな形をとることとなった。

彼らは、この長年信じられてきたルールに対する初めての明示的な反例を構築した。チームは、トーラスとして知られるドーナツ形の、二つのコンパクトで自己完結した曲面を作り上げた。この二つのトーラスは、あらゆる点において計量と平均曲率の値が同一であるにもかかわらず、その全体的な構造は同じではない。この種の例——局所的には同一だが、大域的には異なる曲面のペア——は、数十年にわたって探し求められてきたものだった。

数学者たちはすでに、ボネのルールには限界があり、無限に広がる非コンパクト曲面や縁を持つ曲面に関する既知の例外があることを認識していた。球体のようなコンパクト曲面は、そのような曖昧さからは安全だと考えられていた。トーラス形状の曲面については、理論上、一組の計量と平均曲率の値が最大二つの異なる形状に対応しうると示唆されていたが、誰も具体的な例を「焼き上げた」ことはなかった。

「長年の研究の末、我々は初めて、閉じたドーナツ状の曲面であっても、局所的な測定データが必ずしも単一の大域的形状を決定するわけではないことを示す具体的なケースを見つけることに成功しました」と、TUM計算・情報・技術学部の応用・計算トポロジー教授、ティム・ホフマンは述べた。この発見は数十年にわたる問題を解決し、完全な局所情報があったとしても、曲面の完全な形状が常に一意に特定できるわけではないことを証明した。