Al meer dan anderhalve eeuw opereren wiskundigen onder de geruststellende, zij het ietwat rigide, aanname dat als je twee cruciale dingen weet over een compact oppervlak - zijn metriek (hoe afstanden erop werken) en zijn gemiddelde kromming (hoe het in de ruimte buigt) - je zijn exacte vorm kunt achterhalen. Dit principe, afkomstig van de Franse wiskundige Pierre Ossian Bonnet, is nu zacht maar stevig gekneed tot een nieuwe vorm door onderzoekers van de Technische Universiteit München (TUM), de Technische Universiteit Berlijn en North Carolina State University.

Ze hebben het eerste expliciete tegenvoorbeeld voor deze lang gekoesterde regel geconstrueerd. Het team bouwde twee compacte, zelfstandige oppervlakken in de vorm van donuts, bekend als tori. Deze twee tori delen identieke waarden voor zowel metriek als gemiddelde kromming op elk punt, maar hun algehele structuren zijn niet hetzelfde. Dit soort voorbeeld, een paar oppervlakken die lokaal identiek zijn maar globaal verschillend, was al decennia gezocht.

Wiskundigen waren zich al bewust dat Bonnets regel zijn grenzen had, met bekende uitzonderingen voor niet-compacte oppervlakken die oneindig doorlopen of randen hebben. Compacte oppervlakken zoals bollen werden geacht veilig te zijn voor dergelijke ambiguïteit. Voor torus-vormige oppervlakken suggereerde de theorie dat een enkele set metriek- en gemiddelde-krommingswaarden kon corresponderen met maximaal twee verschillende vormen, maar niemand had ooit een concreet voorbeeld gebakken.

"Na vele jaren onderzoek zijn we er voor het eerst in geslaagd een concreet geval te vinden dat aantoont dat zelfs voor gesloten, donut-achtige oppervlakken, lokale meetgegevens niet noodzakelijkerwijs een enkele globale vorm bepalen," zei Tim Hoffmann, hoogleraar Toegepaste en Computationele Topologie aan de TUM School of Computation, Information and Technology. De bevinding lost een decenniaoud probleem op en bewijst dat zelfs met volledige lokale informatie, de volledige vorm van een oppervlak niet altijd eenduidig vastgepind kan worden.