Por mais de um século e meio, os matemáticos operaram sob a suposição reconfortante, embora um tanto rígida, de que se você souber duas coisas-chave sobre uma superfície compacta - sua métrica (como as distâncias funcionam nela) e sua curvatura média (como ela se curva no espaço) - você pode descobrir sua forma exata. Este princípio, originado com o matemático francês Pierre Ossian Bonnet, foi agora gentil, mas firmemente, amassado em uma nova forma por pesquisadores da Universidade Técnica de Munique (TUM), da Universidade Técnica de Berlim e da Universidade Estadual da Carolina do Norte.
Eles construíram o primeiro contraexemplo explícito a essa regra de longa data. A equipe construiu duas superfícies compactas e autossuficientes em forma de rosquinhas, conhecidas como toros. Esses dois toros compartilham valores idênticos tanto para métrica quanto para curvatura média em cada ponto, mas suas estruturas gerais não são as mesmas. Esse tipo de exemplo, um par de superfícies que são localmente idênticas, mas globalmente diferentes, era procurado há décadas.
Os matemáticos já sabiam que a regra de Bonnet tinha seus limites, com exceções conhecidas envolvendo superfícies não compactas que se estendem infinitamente ou têm bordas. Superfícies compactas como esferas eram consideradas seguras contra tal ambiguidade. Para superfícies em forma de toro, a teoria sugeria que um único conjunto de valores de métrica e curvatura média poderia corresponder a até duas formas diferentes, mas ninguém nunca havia assado um exemplo concreto.
"Após muitos anos de pesquisa, conseguimos pela primeira vez encontrar um caso concreto que mostra que mesmo para superfícies fechadas, em forma de rosquinha, os dados de medição local não determinam necessariamente uma única forma global", disse Tim Hoffmann, Professor de Topologia Aplicada e Computacional na TUM School of Computation, Information and Technology. A descoberta resolve um problema de décadas, provando que mesmo com informações locais completas, a forma completa de uma superfície nem sempre pode ser determinada de forma única.