Seit über anderthalb Jahrhunderten arbeiteten Mathematiker unter der tröstlichen, wenn auch etwas starren Annahme, dass man die genaue Form einer kompakten Fläche bestimmen kann, wenn man zwei Schlüsselaspekte kennt – ihre Metrik (wie Abstände darauf funktionieren) und ihre mittlere Krümmung (wie sie sich im Raum biegt). Dieses Prinzip, das auf den französischen Mathematiker Pierre Ossian Bonnet zurückgeht, wurde nun von Forschern der Technischen Universität München (TUM), der Technischen Universität Berlin und der North Carolina State University sanft, aber entschieden in eine neue Form geknetet.

Sie haben das erste explizite Gegenbeispiel zu dieser lange geltenden Regel konstruiert. Das Team baute zwei kompakte, in sich geschlossene Flächen in Form von Donuts, bekannt als Tori. Diese beiden Tori teilen an jedem Punkt identische Werte für sowohl Metrik als auch mittlere Krümmung, doch ihre Gesamtstrukturen sind nicht gleich. Ein solches Beispiel – ein Paar von Flächen, die lokal identisch, aber global unterschiedlich sind – wurde seit Jahrzehnten gesucht.

Mathematiker wussten bereits, dass Bonnets Regel ihre Grenzen hatte, mit bekannten Ausnahmen bei nicht-kompakten Flächen, die sich ins Unendliche erstrecken oder Kanten haben. Kompakte Flächen wie Kugeln galten als sicher vor solcher Mehrdeutigkeit. Für torusförmige Flächen deutete die Theorie an, dass ein einzelner Satz von Metrik- und mittleren Krümmungswerten bis zu zwei verschiedenen Formen entsprechen könnte, aber niemand hatte je ein konkretes Beispiel gebacken.

„Nach vielen Jahren Forschung ist es uns erstmals gelungen, einen konkreten Fall zu finden, der zeigt, dass selbst für geschlossene, donutförmige Flächen lokale Messdaten nicht zwangsläufig eine einzige globale Form bestimmen“, sagte Tim Hoffmann, Professor für Angewandte und Computergestützte Topologie an der TUM School of Computation, Information and Technology. Der Fund löst ein jahrzehntealtes Problem und beweist, dass selbst mit vollständigen lokalen Informationen die Gesamtform einer Fläche nicht immer eindeutig festgelegt werden kann.