Pendant plus d'un siècle et demi, les mathématiciens ont opéré sous l'hypothèse réconfortante, quoique légèrement rigide, que si vous connaissez deux choses clés sur une surface compacte - sa métrique (comment les distances y fonctionnent) et sa courbure moyenne (comment elle se courbe dans l'espace) - vous pouvez déterminer sa forme exacte. Ce principe, originaire du mathématicien français Pierre Ossian Bonnet, vient d'être doucement mais fermement pétri sous une nouvelle forme par des chercheurs de l'Université technique de Munich (TUM), de l'Université technique de Berlin et de l'Université d'État de Caroline du Nord.

Ils ont construit le premier contre-exemple explicite à cette règle de longue date. L'équipe a construit deux surfaces compactes et autonomes en forme de beignets, connues sous le nom de tores. Ces deux tores partagent des valeurs identiques pour la métrique et la courbure moyenne en chaque point, mais leurs structures globales ne sont pas les mêmes. Ce type d'exemple, une paire de surfaces localement identiques mais globalement différentes, était recherché depuis des décennies.

Les mathématiciens savaient déjà que la règle de Bonnet avait ses limites, avec des exceptions connues impliquant des surfaces non compactes qui s'étendent à l'infini ou ont des bords. Les surfaces compactes comme les sphères étaient considérées à l'abri d'une telle ambiguïté. Pour les surfaces en forme de tore, la théorie suggérait qu'un seul ensemble de valeurs de métrique et de courbure moyenne pouvait correspondre à jusqu'à deux formes différentes, mais personne n'avait jamais cuit un exemple concret.

« Après de nombreuses années de recherche, nous avons réussi pour la première fois à trouver un cas concret qui montre que même pour des surfaces fermées en forme de beignet, les données de mesure locales ne déterminent pas nécessairement une seule forme globale », a déclaré Tim Hoffmann, professeur de topologie appliquée et computationnelle à l'École de calcul, d'information et de technologie de la TUM. Cette découverte résout un problème vieux de plusieurs décennies, prouvant que même avec des informations locales complètes, la forme complète d'une surface ne peut pas toujours être déterminée de manière unique.